УДК 187.13.15.05 Т.Е. Нефедова, Л.И. Войтюк (Ракова), А.Е. Прилуцкий. К ВОПРОСУ
|
Раньше, например, в пору моего детства, простосердечно говорили, что так как многоугольники p (так у Лебега обозначены правильные многоугольники, вписанные в круг. - Прим.ред.) отличаются все меньше и меньше от круга, то площадь круга есть предел площадей p. О площади, рассматриваемой как первичное понятие, рассуждали одинаково хорошо как в случае круга, так и в случае многоугольников, и опирались на несформулированные и молчаливо предполагаемые свойства этих площадей. Конечно, с точки зрения логической это было недостаточно; однако оказывалось, что ничего неприемлемого не говорилось, тогда как нынешнее изложение совершает, по-моему, больший грех если не против логики, то что еще хуже, против здравого смысла. Заодно обнаруживают наивное легковерие во всемогущество слова, заставляющее надеяться, что затруднение будет побеждено искусством речи. Как будто бы настоящий прогресс может быть достигнут столь дешевой ценой!
В самом деле, как поступают в настоящее время? Площадь круга есть предел p. Это есть произвольное определение, название, которое может быть заменено всяким другим. Отсюда следует, что недостаточно еще принять это, а не другое, название, чтобы число, названное таким образом, площадью круга, поспешило благоразумно войти в семейство тех чисел, для которых справедливы свойства а), б), в), г). (Выше Лебег отмечает 4 свойства площади:
а) существование положительного числа, выражающего площадь;
б) адаптивность;
в) инвариантность относительно движений;
г) однозначная определенность после выбора единицы площади Прим.авт.).
В результате этого из известной формы для площади круга нельзя логически вывести формулу площади сектора; верить в это и пускаться в мнимые рассуждения, значит глубоко заблуждаться. Площадь сектора равна
по определению (S - площадь круга, A - мера центрального угла в секунду).