Анатолий Шапиро. ИСТОРИИ С НАУКОЙСодержаниеСлезы и соль математики1. Почему математика трудная?Практически все люди сталкиваются с математикой, начиная еще со школы. К сожалению, для многих это столкновение в прямом смысле слова. Тому есть причины, которые коренятся, по-видимому, в самой математике, в личности учащегося, в учебниках и преподавателях математики. Конечно же, математика достаточно сложна, ибо требует точных действий по правилам, не допуская каких-либо отклонений. Имеющийся пробел в знаниях правил рано или поздно даст о себе знать. Кроме того, по мере продвижения усложняется последовательность и содержание выполняемых шагов. Словом, трудности нарастают. И здесь выявляется разделение учащихся. Часть из них воспринимает логику и особенности предмета и более или менее успешно продвигается в его усвоении. Другая же часть к этому не особенно расположена и гораздо более охотно изучает гуманитарные предметы, где возможности учащихся примерно равны. Здесь коренится весьма условное разделение учащихся на гуманитариев и техников. Лишь единицы усваивают математику легко и свободно - это вероятные будущие преподаватели математики. Объективная база изучения математики определяется учебниками. И если в учебниках математики для младших классов имеется определенный прогресс, то в учебниках для старших классов это менее заметно, а в геометрии, например, изложение мало изменилось со времен Евклида. Существуют различные концепции учебников, вытекающие из предпочтений в усвоении материала. Часть авторов предпочитает индуктивную форму изложения, когда разъясняются необходимость и смысл вводимых понятий, что стимулирует мышление и облегчает понимание. Другие считают это излишним и тогда мы получаем отличающуюся краткостью дедуктивную форму изложения практически без разъясняющих комментариев. Еще один тип учебников - изложение в примерах и задачах.
- говаривал И. Ньютон. Такая книга дает возможность набить руку, повысить уверенность в своих силах. И, наконец, справочная форма изложения, позволяющая обозреть материал систематизированно, в целом, что важно для использования в решении задач, подготовки к экзаменам. Таков комплекс учебников, создающих базу для эффективного усвоения предмета. В реальности эти подходы реализуются достаточно стихийно. Минимальной единицей изложения в учебниках является доказательство теоремы, излагаемое свободным текстом. Оно состоит из последовательных шагов, которые и целесообразно принять за единицу изложения. Каждому шагу присваивается номер, излагается его содержание, даются комментарии и ссылки. Подобная структуризация изложения дает также возможность количественной оценки избранного способа доказательства теоремы или алгоритма решения задачи. Учебники математики являются товаром, предназначенным для учащегося, оценку которому дают, однако, преподаватели. Роль преподавателя, как посредника между учащимися и учебником, достаточно значительна. Однако в ряде случаев субъективная позиция преподавателя может породить дополнительную сложность в усвоении и так нелегкого предмета и даже вызвать отрицательные комплексы. 2. Постижение математикиБез права на ошибкуЛука Пачоли, итальянский математик, создатель двойной итальянской бухгалтерии, называемой ныне просто бухгалтерией, говорил:
Метод проб и ошибок в процессе поиска решения проблемы общепризнан в мире. Ибо путь, ведущий к истине, отнюдь не прямой. Обычно же предлагается единственный способ решения без объяснения, почему он является лучшим. Ошибка же является плодом ложных представлений, которые и должны быть выявлены и аргументированно скорректированы. Она должна рассматриваться как естественный момент поиска решения и не служить предлогом для осуждения или наказания. В иных случаях следует дать возможность учащемуся, избравшему ложный путь, самому убедиться в этом. В школу с решенными задачамиВ реальности лишь меньшинство или даже единицы отвечают этому условию. Нельзя, однако, оставлять не взятые крепости, ибо в будущем это обязательно даст о себе знать. Индивидуальные консультации, совместное решение с целью диагностики и коррекции ошибочных представлений и уж затем - переход к конечной цели, т.е. самостоятельному решению задач. Момент истиныКонечно, это экзамен. Нелегкое испытание, в котором, как в зеркале, отразится фактический уровень знаний. Чтобы продемонстрировать его в полной мере и избежать случайностей, нужна целенаправленная подготовка. Как же эффективно подготовиться к экзамену по математике? Этот старый, как мир, вопрос по-прежнему актуален. Не последнюю роль играет также нужный настрой, психологическая готовность к испытаниям. Разнообразие задач неисчерпаемо, на этом может споткнуться и хорошо подготовленный учащийся. Не отсюда ли берет корни утверждение, что экзамен - это лотерея? Уверенность в положительном исходе экзамена подкрепляется достаточным количеством самостоятельно решенных задач. Но вот экзамен позади... Однако известно доброе старое, к сожалению, почти забытое правило: если экзаменующийся неверно ответил на вопрос или дал неполный ответ, то экзаменатор указывает правильный ответ, объясняет экзаменующемуся, в чем его ошибка. У человека, не получившего соответствующих разъяснений, возникает почти суеверный страх перед математикой, в которой невозможно разобраться. Тяжелый осадок остается надолго, иногда на всю жизнь. А ведь учащийся и экзаменатор отнюдь не находятся по разные стороны баррикады, на самом деле они решают общую задачу - как наиболее точно определить фактический уровень знаний учащегося. Это важно, в конечном счете, для адекватной профориентации учащегося. 3. Математик сделает лучше!Непростое это дело, обсуждать что-либо с математиком. Он сразу же спросит, что вы под этим понимаете, и затем приложит все силы, чтобы доказать, что вы сами не понимаете, что говорите. Если же удается пробиться через эту фазу, то вам, скорее всего, предложат привести пример, иллюстрирующий вашу мысль. Естественно, пример тоже попытаются опровергнуть. Это, так сказать, отпечаток профессии: ничего не принимать на веру без достаточного обоснования. В одном школьном учебнике геометрии можно встретить такую теорему:
Не подвергая сомнению необходимость строгости в математике вообще, все же можно сказать, что здесь нарушено чувство меры. Более рациональным представляется введение курса Наглядная геометрия. Математики убеждены также, что они могут выполнить любую работу лучше других, ибо им более чем прочим ведомы приемы строго логического анализа. В одной книге так и написано: математик сделает лучше! Трудно сказать, насколько это справедливо. Но вот пример: Наполеон Бонапарт, бывший, кстати, академиком Парижской академии наук по отделению математики, назначил известного математика и физика Лапласа министром внутренних дел, но уже через короткое время вынужден был его отозвать. А вот Гражданский кодекс самого Наполеона и введенное им административное деление Франции функционируют до сих пор. Случались также и казусы. Инженер-электрик Хевисайд использовал для обозначения операции дифференцирования букву D, взамен традиционных штриха или точки. Для решения дифференциального уравнения он вынес неизвестную функцию за скобки, затем к полученному в скобках оператору записал обратный, после чего воздействовал им на известную функцию в правой части уравнения. Это было настоящее шаманство, но... результаты получались верные! Пятьдесят лет понадобилось математикам, чтобы обосновать с помощью интегрального преобразования Лапласа операционное исчисление Хевисайда. На математические отделения университетов попадают, понятное дело, те, кто был успешен в школьной математике. Значительная часть станет затем преподавателями математики, немногие пойдут в науку. Математические семинары предельно жесткие. Никакие авторитеты и звания не освобождают от необходимости обоснования своих утверждений. Дух математики проникает и в другие науки. Математика традиционно царит в технических науках, а в последнее время курсы высшей экономики сплошь пронизаны математикой. Похоже, реализуется претенциозный лозунг, что наука лишь тогда достигает высокого уровня, когда использует математику. В то же время в преподавании математики имеются устаревшие разделы, особенно в связи с развитием вычислительной техники, например, приведение к виду, удобному для логарифмирования в тригонометрии. Не столь актуально и применение дифференциалов для приближенных вычислений, когда с помощью калькулятора можно получить довольно точные результаты. Представляется излишним схема коэффициентов Паскаля, освобождение от иррациональности в знаменателе дроби - это лишь дань традиции. Метод четырех полей в математической статистике следует, пожалуй, отнести в упражнения, что и сделано в некоторых учебниках, и т.п. Тем самым в программах курсов освободится место для более современного материала, или же просто уменьшится нагрузка на учащихся. О строгости в математикеВ древней Греции математики нередко рисовали чертеж и вместо доказательства писали только одно слово: Смотри! Во времена становления и развития математического анализа долгое время полагали, что непрерывная кривая, нарисованная свободным неотрывным движением руки, имеет в каждой точке касательную. Все изменилось после того, как был построен пример функции, удовлетворяющей определению непрерывности, но ни в одной точке не имеющей касательной. График такой функции как бы весь состоит из угловых точек. Интуиция оказалась обманчивой. С тех пор строгость в математике существенно возросла. Стали доказываться утверждения вроде: и т.п. В аксиоматических системах доказательству подлежит любое утверждение, не содержащееся среди аксиом. Для каждого вновь вводимого понятия доказывается существование соответствующего объекта и, в необходимых случаях, единственность. Поэтому Основания геометрии Д. Гильберта и книги Н. Бурбаки, посвященные аксиоматическому описанию математических структур, такие объемные. Был даже издан учебник по геометрии, не содержащий ни единого чертежа - дабы показать возможность изложения геометрии независимо от наглядных представлений. Однако чтобы читать такую книгу, чертежи надо делать самостоятельно! О книгах Бурбаки можно сказать, что там на тысячи страниц не приходится ни одного чертежа. Математики получили, таким образом, новый оперативный простор и ... неограниченное количество тем для докторских диссертаций. Это был также внутренний импульс, совершенно не связанный с приложениями. В учебниках же и прикладных курсах в основном сохраняется разумная опора на интуицию. 4. Проблемы и решенияЕдва учитель закончил диктовать задание - подсчитать сумму чисел от 1 до 100 - как один из учеников принес ему решение. Это был К. Гаусс, будущий великий математик. Вот его способ:
Понятное дело, таким же способом легко подсчитать сумму чисел от 1 до 1000 и вообще сумму n членов арифметической прогрессии. По словам самого Гаусса, он научился cчитать раньше, чем говорить. Однажды, наблюдая, как его отец записывал ежедневные расчеты с поденщиками, 5-летний Гаусс воскликнул:
Ошибка действительно обнаружилась. Неутомимым вычислителем был также и другой великий математик Л. Эйлер. Одно из самых известных в математике чисел - число е, называют числом Эйлера. Когда Эйлер умер, о нем говорили, что он перестал вычислять и жить. Индийский математик Рамануджан получил известность как гениальный вычислитель. В частности, его необычайные способности помогли английскому математику Г. Харди установить окончательный вид формулы асимптотического распределения простых чисел. И все же в реальности далеко не все математики хорошие вычислители. Более того, они рассматривают математику как средство, позволяющее избежать рутинных вычислений. Полагают также, что значительная часть работы математика выполняется на подсознательном уровне. После напряженных и длительных многократных и нерезультативных попыток, тупиков и заблуждений вдруг возникает мгновенное озарение, причем нередко в самый неподходящий момент. Бывает, что открытия делаются при форс-мажорных обстоятельствах. Такова история получения формулы для нахождения решений уравнения III степени. Во времена Ренессанса были в ходу публичные диспуты, на которых можно было предложить своему сопернику ряд задач для решения. Так что математические знания могли играть роль секретного оружия. Итальянский математик Н. Тарталья получил вызов на публичный диспут. Соперники должны были передать друг другу через нотариуса 30 задач, на решение которых отводилось 50 дней. Победителем признавался тот, кто решит большее число задач. Проигравший должен был оплатить обед победителя и его 29 друзей. Уже после заключения условий состязания Тарталья узнал, что его соперник располагает общей формулой для решения кубического уравнения, которую он получил от одного известного математика. Резонно полагая, что предложенные ему задачи будут относиться именно к этой области, Тарталья приложил все силы к получению формулы. Окончательное решение он нашел лишь за несколько дней перед состязанием. На диспуте Тарталья значительно опередил своего соперника. Дальнейшее развитие этой проблематики, т.е. решения уравнений высших степеней, привело к появлению теории групп. Понятие группы оказалось исключительно плодотворным для алгебры, геометрии, математики в целом, а также ее приложений. Создатель этой теории Э. Галуа погиб в возрасте 21 года на дуэли. Комета на математическом небосклоне! Сама возможность получения формул для корней кубического, а ранее и квадратного уравнений опиралась на использование буквенной символики, что имело для алгебры, да и всей математики значение, сравнимое с изобретением книгопечатания. Исторически алгебра развивалась в составе геометрии и использовала ее язык. До сих пор мы говорим: квадрат или куб числа, что геометрически соответствует площади квадрата или объему куба. На этом языке общеизвестное квадратное уравнение, например, имело следующее описание: площадь прямоугольника, одна из сторон которого равна некоему известному количеству, а другая численно равна площади квадрата со стороной, равной неизвестному количеству, прибавленная к площади другого прямоугольника, одна из сторон которого равна другому известному количеству, другая же равна тому же неизвестному количеству, прибавленная к третьему известному количеству, обращается в ничто. Естественно, решение задач с использованием подобных описаний было доступно лишь немногим. Для нахождения квадратного корня из числа использовалась итерационная формула Герона, основанный на постепенном переходе от прямоугольника к квадрату равной площади, сторона которого и являлась искомым значением корня. Сегодня это доступно школьникам. Далее, одной буквой стали обозначать таблицу чисел, что привело к развитию векторно-матричного исчисления. На этом языке система n уравнений с n неизвестными записывается в виде: Ах = b, где А - матрица, х и b - векторы. Решение имеет вид: х = Сb, где С - матрица, обратная к А. Результат получается умножением обратной матрицы С на известный вектор b. При n = 1 имеем: Aх = b, где A, b - известные числа. Решение, как известно, имеет вид: х = Cb, где C = 1/A, т.е. число, обратное к A. Аналогия, как видим, полная, а введение надлежащих обозначений делает задачу обозримой. 5. Путеводная звезда корректностиПонятие корректности является одним из ведущих в математике. Математическая задача называется корректной, если она имеет решение, которое, к тому же, должно быть единственным и устойчивым. Единственным потому, что при наличии нескольких решений все равно для реализации придется выбирать одно. Небольшие изменения параметров задачи не должны вести к существенным изменениям решения. Корректные задачи весьма удобны для исследования и практического использования. Оказалось, однако, что за всю историю математики было сформулировано не так уж много корректных задач. Почти все они именные: задача Коши, задача Неймана и т.д. Проиллюстрируем понятие корректности на примере системы линейных алгебраических уравнений. Если число уравнений равно числу неизвестных, то, в общем случае, существует единственное решение. Оно может быть определено и является устойчивым. Это, так сказать, нормальный случай. К.Ф. Гаусс при производстве геодезических измерений столкнулся с ситуацией, когда число уравнений значительно превышало число неизвестных. Как быть? Можно взять произвольно часть уравнений в количестве, равном числу неизвестных величин и решить полученную систему. Однако при подстановке решения в оставшиеся уравнения последние, естественно, могут не удовлетворяться. Таким образом, решение попросту не существует. Но этой проблеме повезло в том смысле, что она попала в руки Гаусса, который не оставлял проблемы без решения. В качестве решения Гаусс предложил такое, которое при его подстановке во все уравнения минимизирует сумму квадратов отклонений. Необходимым условием минимума функции, как известно, является равенство нулю частных производных этой функции. При этом получается система линейных уравнений, у которой число неизвестных в точности равно числу уравнений. Доказано, что эта система уравнений всегда разрешима. Так появился метод наименьших квадратов, носящий имя Гаусса. И, наконец, третий возможный случай, когда число неизвестных больше, чем число уравнений. Можно, конечно, лишним неизвестным придать какие-то значения, а затем определить оставшиеся. При этом получается бесчисленное множество возможных решений, т.е. задача опять-таки некорректна. Одно время математики выдавали это обстоятельство за достоинство, но это была не более, чем хорошая мина при плохой игре. Дело затянулось на столетия, хотя этой проблемой занимался и такой известный математик, как Фурье. Лишь в последнее время был найден корректный подход к этой задаче и снова влияние практики оказалось существенным. В процессе планирования производства изделий, с учетом норм расхода материалов и наличных ресурсов, получается система линейных уравнений. При этом уравнений столько, сколько наличных ресурсов. Число же изделий может быть на порядок больше. Система имеет бесконечное множество решений. Естественно выбрать то, которое максимизирует некую целевую функцию, скажем прибыль. Такой подход был предложен Л.В. Канторовичем в 1939 году. Решение является в общем случае также единственным и устойчивым. Аналогичной оказалась задача о минимизации транспортных расходов при транспортировке различных грузов имеющимся парком транспортных средств. За решение последней задачи была присуждена нобелевская премия. Также был найден эффективный вычислительный алгоритм решения линейных задач оптимизации, получивший название симплекс-метод. Мы видим, что в обоих случаях для решения проблемы находилось экстремальное значение некоей функции, причем Гауссу пришлось ее сконструировать, а Канторович вообще брал известную функцию прибыли. Также в наше время получила корректное решение так называемая антагонистическая игра двух лиц, в которой один из игроков выигрывает ровно столько, сколько проигрывает другой. Игра определяется прямоугольной матрицей чисел. Строки задают выборы первого игрока, столбцы, соответственно выборы второго игрока. Элементы матрицы показывают размеры выигрышей первого игрока. Целью первого игрока является максимизация гарантированного выигрыша, соответственно цель второго - минимизация возможного проигрыша. При наличии элемента, являющегося минимальным в своей строке и максимальным в своем столбце, соответствующие строка и столбец дают оптимальное решение для каждого из игроков. При этом ни одному из игроков невыгодно отклоняться от своей оптимальной стратегии. В общем случае такой элемент отсутствует и игра становится неустойчивой. Предложенное корректное решение состоит в следующем: игроки выбирают свои стратегии с определенными вероятностями и тогда математические ожидания выигрыша обоих игроков совпадают. Им же издана фундаментальная монография Теория игр и экономическое поведение. Применение теории игр для решения конкретных научно-прикладных проблем неоднократно отмечалось нобелевскими премиями. Мы видим плодотворность использования понятия корректности собственно в математике. Но это также определенный вклад в культуру социума, ибо задуматься о корректности принимаемых решений, уже в широком смысле слова, отнюдь нелишне. 6. Трехтысячелетний детективВ системе аксиом геометрии Евклида последней является аксиома параллельности: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну. Многие математики хотели превратить эту аксиому в теорему, т.е. доказать. И все без исключения потерпели неудачу. В каждом таком доказательстве при внимательном анализе обнаруживалось предположение, не входящее в систему аксиом и, следовательно, непозволительное. Вот некоторые из них:
и т.д. По существу они были эквивалентны аксиоме параллельности. Логически имеются 3 возможности, именно, через точку вне данной прямой:
Теперь нам необходимо выйти за пределы плоскости и поговорить о других поверхностях. На плоскости прямая линия является кратчайшим расстоянием между двумя точками. А как обстоит дело с этим на других поверхностях, где и прямых-то нет, на сфере, например? Чтобы определить кратчайшее расстояние между двумя точками на сферической поверхности, необходимо через эти две точки и центр сферы провести плоскость, которая пересечет сферу по окружности большого круга. Часть дуги этой окружности, заключенная между двумя точками, и будет кратчайшим расстоянием между ними. Итак, роль прямых линий на сфере играют окружности большого круга, которые все пересекаются друг с другом. Таким образом, на сфере реализуется третья возможность. Вторая возможность была детально исследована Н.И. Лобачевским. Он развил соответствующую систему почти с такой же полнотой, как и Евклид. Лобачевский назвал эту геометрию неевклидовой, сейчас ее называют геометрией Лобачевского. Позднее была обнаружена поверхность, на которой реализуется геометрия Лобачевского. Этой поверхностью оказалась псевдосфера, всем известный волчок. Наконец-то геометрия Лобачевского получила наглядную интерпретацию. Но оказалось, что на псевдосфере реализуется лишь часть плоскости Лобачевского. В конце концов, была предложена полная интерпретация геометрии Лобачевского. Независимо от Лобачевского к понятию неэвклидовой геометрии пришли также Гаусс и молодой венгерский гений Я. Бойяи. Заметки Гаусса не были опубликованы при его жизни, а работа Бойяи вышла в приложении к книге его отца. Не пропали даром и все некорректные доказательства аксиомы параллельности. Они стали вполне корректными утверждениями геометрии Лобачевского, именно:
и др. Итак, сколько поверхностей, столько и геометрий. Поверхность Земли близка к сферической, 2/3 ее составляет водная поверхность, так что корабли ходят по окружностям большого круга, если хотят сэкономить время и ресурсы. Кстати, когда для установления мирового рекорда скорости на автомобиле понадобилось найти достаточно большой плоский участок земной поверхности, это оказалось нелегким делом. Также в живой природе плоские поверхности почти не встречаются. Развитие подхода Лобачевского привело к появлению новых геометрий. Известная аксиома Архимеда гласит, что если на числовой прямой задана точка отсчета О, отрезок фиксированной длины а и произвольная точка А, то всегда найдется такое число n, что будет na > ОА. Соответствующее изменение аксиомы Архимеда приводит к неархимедовой геометрии. Последняя получила применение в ядерной физике при исследовании взаимодействия на планковских расстояниях. Аналогично строились недезаргова и непаскалева геометрии. Исследовалось также понятие непротиворечивости геометрии, т.е. возможности существования в ней двух противоречащих друг другу утверждений. При этом были получены результаты, важные также для математики в целом. Но это уже другая история. 7. История математикиСреди геометрических достижений Древнего Египта - замечательное измерение радиуса земного шара. От Фив до Мемфиса караваны верблюдов шли почти по меридиану, и посчитать число шагов, т.е. расстояние, не составляло труда. Измерить разность высот Солнца в полдень в один и тот же день в обеих столицах тоже сумели. После этого радиус легко вычислить; удивительно, однако, что относительная ошибка этого измерения составляла всего 1%. Греки провели измерение радиуса Земли заново. Они решили использовать Средиземное море и проплыли на север от устья Нила до острова Родос. Расстояние они измерили, умножив скорость корабля при ветре средней силы на время путешествия. Размер радиуса Земли при этом получили вдвое больше правильного. Интересно, что много столетий спустя один генуэзский капитан пришел к католической королеве с просьбой отправить его в Индию западным путем, пройденного Васко де Гамой. Королева тотчас назначила экспертную комиссию и вскоре отказала капитану, потому что, дескать, невозможно построить корабль, который бы вместил столько бочек пресной воды, сколько нужно, дабы доплыть так далеко. Но капитан спорил, и после нескольких туров дискуссий с экспертами ему позволили рискнуть умереть от жажды. Вот как была открыта Америка. Тот основал в Египте звездочетство и небесную механику. Если и не он сам, то, во всяком случае, его древние последователи знали закон обратных квадратов, законы Кеплера и вывод одного из другого. Ньютон писал, что, поскольку этот вывод сгорел в пожаре Александрийской библиотеки, где хранилась вся наука древнего Египта, то ему принадлежит честь восстановления этого древнего доказательства. В греческой и средневековой версии Тот именовался Гермесом Трисмегистом и его труды переиздавались чуть ли не ежегодно под названием Изумрудная скрижаль - у Ньютона дома было несколько ее изданий... В средние века научные книги истребляли, кроме практически полезных - по артиллерии, мореплаванию и архитектуре. В книге Витрувия по архитектуре я видел среди полезных для архитектора кривых описание эллипса, сопровождающееся рассказом о его астрономических приложениях в теории движения планет. И Ньютон, и Коперник знали об этих древних гелиоцентрических теориях и цитировали их, но эта древность мало кого интересовала... Пифагор был одним из первых в мире, как это сейчас называется, индустриальных шпионов. Он провел в Египте около 20 лет. Египетские жрецы обучили его своим наукам, но потребовали от него подписку о неразглашении. Теорема Пифагора была опубликована за пару тысяч лет до него, вместе с доказательством и с формулой для нахождения Пифагоровых троек, описывающих все прямоугольные треугольники с целыми длинами сторон. Кроме геометрии, Пифагор вывез из Египта независимую от индусской теорию переселения душ, базирующееся на ней вегетарианство и еще основы теории гармонии струнных музыкальных инструментов. Другими подобными Пифагору переносчиками египетских тайн в Грецию и Европу были Платон и Евдокс. Последняя теория началась с открытия несоизмеримости диагонали квадрата с его стороной, т.е. иррациональности, которое в пифагорейской школе было засекречено. Дело в том, что этот факт подрывал значение арифметической теории дробей: дроби оказывались недостаточными для потребностей физики, и, следовательно, математики занимаются ненужной чепухой, их следует прогнать или по меньшей мере не кормить. Пришлось добавлять к арифметике дробей новую науку - теорию чисел. Эту не такую уж простую задачу Евдокс блестяще решил, и сейчас удивительно, насколько его подход близок к современным. Открытие того, что такие факты, как однозначность разложения целого числа на простые множители, нуждаются в доказательствах, на самом деле не менее важно, чем проведение самого доказательства. Из всего рассказанного мне казалось очевидным, что математика - это часть физики, а вовсе не последовательность импликаций, как думал Гильберт до теоремы Геделя, установившего невыполнимость программы Гильберта полной формализации математики. И математика, и физика - экспериментальные науки, разница лишь в том, что в физике эксперименты стоят миллиарды долларов, а в математике - единицы рублей. 8. Математическое творчествоАнри Пуанкаре - выдающийся французский математик, физик, философ. Член Академии наук Франции и многих зарубежных академий. Автор более 500 статей и книг. Его называют одним из величайших математиков всех времен, а также последним математиком-универсалом, человеком, способным охватить все математические результаты своего времени. Ниже следует стилизованная беседа с Интересующимся. Ответы А. Пуанкаре - подлинные тексты из его одноименного произведения.
9. Математическая свалка
|